多解法对比 + 考点提炼 + 实战技巧，一文吃透本题

一、题目速览与考点拆解

原题条件

在 △ABC 中，已知 AB = 3，BC = 2√3，cos B = √3/3。

(1) 求 cos A 的值；

(2) 点 D、E 满足：D 在 BA 的延长线上，DE // BC，AE ⊥ AC，且 DE = √6，求线段 CE 的长度。

核心考点一览

知识模块	具体考查内容
余弦定理	两边夹一角求第三边；三边求角
三角变换	同角关系、诱导公式、二倍角公式
正弦定理	斜三角形中的边角比例
几何性质	平行线角度关系、垂直构造直角、勾股定理
坐标法	建系、斜率关系、距离公式

能力侧重：几何转化能力、条件迁移能力、代数运算能力，鼓励一题多解。

二、第(1)问：求 cos A

方法一：余弦定理"两步走"

第一步：先求 AC

对 ∠B 应用余弦定理：

AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos B
= 9 + 12 − 2×3×2√3×(√3/3)
= 21 − 12 = 9

解得 AC = 3。

惊喜发现：AB = AC = 3，△ABC 是等腰三角形！

第二步：再求 cos A

对 ∠A 应用余弦定理：

cos A = (AB² + AC² − BC²) / (2·AB·AC)
= (9 + 9 − 12) / 18
= 6 / 18 = 1/3

方法二：等腰性质 + 三角恒等变换

既然 AB = AC，则底角相等：∠B = ∠C。

由三角形内角和：∠A + 2∠B = 180°，即 ∠A = 180° − 2∠B。

代入诱导公式和二倍角公式：

cos A = cos(180° − 2B) = −cos 2B = −(2cos²B − 1)
= −[2×(√3/3)² − 1]
= −(2/3 − 1) = 1/3

✅ 两种方法结果一致，答案：cos A = 1/3

三、第(2)问：求 CE

方法一：纯几何法（角度追踪 + 正弦定理）

角度分析

DE // BC ⇒ ∠D + ∠B = 180°（同旁内角互补）∴ sin D = sin B = √(1 − cos²B) = √(1 − 1/3) = √6/3AE ⊥ AC ⇒ ∠EAC = 90°D 在 BA 延长线上，故 ∠DAE = 90° − ∠BAC∴ sin∠DAE = sin(90° − A) = cos A = 1/3

在 △ADE 中用正弦定理

DE / sin∠DAE = AE / sin D
√6 / (1/3) = AE / (√6/3)
3√6 = 3AE/√6
AE = 6

在 Rt△ACE 中用勾股定理

CE = √(AC² + AE²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5

方法二：坐标法（建系 + 代数运算）

建立坐标系

以 A 为原点，AB 方向为 x 轴正方向：

A(0, 0)，B(3, 0)C 点坐标：AC = 3，cos A = 1/3，sin A = 2√2/3∴ C(3×1/3, 3×2√2/3) = (1, 2√2)

求直线方程

BC 斜率 = (2√2 − 0)/(1 − 3) = −√2DE // BC ⇒ DE 斜率 = −√2设 D(t, 0)（t < 0），DE 方程：y = −√2(x − t)AC 斜率 = 2√2/1 = 2√2AE ⊥ AC ⇒ AE 斜率 = −1/(2√2) = −√2/4AE 方程：y = −(√2/4)x

联立求 E 点坐标

−√2(x − t) = −(√2/4)x
x − t = x/4
3x/4 = t ⇒ x = 4t/3
y = −(√2/4)×(4t/3) = −√2·t/3

∴ E(4t/3, −√2·t/3)

由 DE = √6 定参数 t

DE² = (4t/3 − t)² + (−√2·t/3)²
= (t/3)² + 2t²/9
= t²/9 + 2t²/9 = t²/3 = 6
t² = 18，t < 0 ⇒ t = −3√2

代入得 E 坐标：

x = 4×(−3√2)/3 = −4√2
y = −√2×(−3√2)/3 = 6/3 = 2

∴ E(−4√2, 2)

计算 CE 距离

CE = √[(1 + 4√2)² + (2√2 − 2)²]
= √[1 + 8√2 + 32 + 8 − 8√2 + 4]
= √45 = 3√5

✅ 两种方法结果一致，答案：CE = 3√5

四、方法对比与选择策略

问	方法	特点	推荐场景
(1)	余弦定理法	直接通用，无需观察特殊形状	任何三角形都适用
(1)	恒等变换法	发现等腰后计算极简	观察到 AB = AC 后首选
(2)	纯几何法	步骤少、计算量小	角度关系清晰时
(2)	坐标法	流程固定、不易出错	图形复杂、角度难追踪时